//pemanggilan library yg diperlukan
import javax.swing.JFrame;
import javax.swing.JPanel;
import javax.swing.JButton;
import javax.swing.JTextField;
import javax.swing.JLabel;
import java.awt.*;
import java.awt.event.*;
public class myFirstGUI extends JFrame implements ActionListener { //deklarasi class dengan menuruni sifat dari JFrame dengan meng-implements suatu Action
public myFirstGUI(){
super("Program Masukkan Nama"); //memberi judul frame
setSize(400, 500); //ukuran frame
panel1.setLayout(null);
//peletakan Objek-objek
lbl1.setBounds(100, 100, 75, 25); //( posisiX, posisiY, panjang, lebar)
txt1.setBounds(180, 100, 150, 25);
btn1.setBounds(100, 200, 75, 25);
lblnama1.setBounds(50, 200, 400, 100);
lbl2.setBounds(100, 150, 75, 25); //( posisiX, posisiY, panjang, lebar)
txt2.setBounds(180, 150, 150, 25);
btn2.setBounds(200, 200, 75, 25);
lblnama2.setBounds(50, 250, 400, 100);
//mengatur Font pada Label Nama
lblnama1.setFont(new Font("Arial", Font.BOLD, 32));
lblnama2.setFont(new Font("Arial", Font.BOLD, 32));
//menempelkan Objek pada Panel
panel1.add(lbl1);
panel1.add(txt1);
panel1.add(btn1);
panel1.add(lblnama1);
panel1.add(lbl2);
panel1.add(txt2);
panel1.add(btn2);
panel1.add(lblnama2);
//menempelkan Panel pada Frame
getContentPane().add(panel1);
//membuat Frame menjadi terlihat / ditampilkan
setVisible(true);
//menambahkan action pada Button
btn1.addActionListener(this);
btn2.addActionListener(this);
}
//action
public void actionPerformed(ActionEvent e){
if(e.getSource() == btn1)
{ //jika action terjadi pada btn1 ( button clicked )
lblnama1.setText(txt1.getText()); //mengambil nilai String dari txt1 kemudian di kirimkan ke lblnama1
txt1.setText(""); //mengosongkan String pada txt1
lblnama2.setText(txt2.getText()); //mengambil nilai String dari txt1 kemudian di kirimkan ke lblnama1
txt2.setText(""); //mengosongka
}
}
public static void main(String[] args){ //main method
new myFirstGUI(); //memanggil constructor myFirstGUI()
}
//deklarasi Objek yg akan digunakan
private JPanel panel1 = new JPanel();
private JPanel panel2 = new JPanel();
private JTextField txt1 = new JTextField();
private JTextField txt2 = new JTextField();
private JLabel lbl1 = new JLabel("Nama User:"),
lblnama1 = new JLabel();
private JLabel lbl2 = new JLabel("Password:"),
lblnama2 = new JLabel();
private JButton btn1 = new JButton("OK");
private JButton btn2 = new JButton("NO");
}
pemrograman pascal
Jumat, 24 Desember 2010
Selasa, 21 Desember 2010
TIMNAS INDONESIA
timnas indonesia selalu jadi kebanggan bangsa dan negara jayalah selalu indonesia.......
Sabtu, 20 November 2010
ilmu2 komputer
import java.io.*;
class bacastringandfile
{
public static void main (String [] args)
{
try
{
FileInputStream fstream = new FileInputStream("myfile.txt");
DataInputStream datainput = new DataInputStream(fstream);
while (datainput.available()!=0)
{
String data = datainput.readLine();
System.out.println(data);
}
datainput.close();
}
catch (Exception x)
{
System.out.println("File Input Error");
}
}
}
program A3d;
uses crt;
var
a:array[1..2,1..3,1..3] of shortInt;
i,j,k:byte;
begin
clrscr;
a[1,1,1]:=1;
a[1,1,2]:=2;
a[1,2,1]:=3;
a[1,2,2]:=4;
a[2,1,1]:=5;
a[2,1,2]:=6;
a[2,2,1]:=7;
a[2,2,2]:=8;
a[1,1,3]:=9;
a[1,2,3]:=1;
a[2,1,3]:=2;
a[2,2,3]:=3;
for i:= 1 to 2 do
begin
for j:= 1 to 2 do
begin
for k:= 1 to 3 do write(a[i,j,k]);
writeln;
end;
end;
readln;
end.
java class panggil
import javax.swing.*;
import javax.swing.text.*;
import java.awt.*;
import java.awt.event.*;
public class TestForm extends JFrame {
JButton btnPanggil = new JButton("Panggil Form lain");
public TestForm() {
btnPanggil.setMnemonic('P');
btnPanggil.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent e) {
Form_kedua b = new Form_kedua();
b.show();
}
});
setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
this.getContentPane().setLayout(null);
this.setTitle("Test Memanggil Form lain");
btnPanggil.setBounds(new Rectangle(90,10,250,20));
this.getContentPane().add(btnPanggil,null);
this.setSize(500,200);
Dimension layar = Toolkit.getDefaultToolkit().getScreenSize();
int L = (layar.width - this.getSize().width) / 2;
int T = (layar.height - this.getSize().height) / 2;
this.setLocation(L,T);
this.setResizable(false);
this.setVisible(true);
}
public static void main(String[] args) {
TestForm form_satu_awal = new TestForm();
}
}
import java.io.*;
class HargaBuncis
{
public static void main(String args[])
{
String x;
int harga=0,jumlah=0,n=0; // cobain kalau int harga,jumlah,n;
try
{
FileInputStream fstream = new FileInputStream("c:/hargabuncis.txt");
DataInputStream dataInput = new DataInputStream(fstream);
while (dataInput.available() !=0)
{
x=dataInput.readLine();
harga=Integer.parseInt(x);
n=n+1;
jumlah=jumlah+harga;
System.out.println ("Harga Buncis hari ke "+n+" "+harga);
}
dataInput.close();
}
catch (Exception e)
{
System.err.println("File input error");
}
double rata2=(double) jumlah/n;
// cobain kalau pake double rata2=jumlah/n; hasilnya spt apa?
System.out.println ("Harga Buncis rata-rata "+rata2);
}
}
import java.io.*;
class tulisbaca
{
public static void main(String[]args)
{
try
{
FileOutputStream simpen=new FileOutputStream("tulisbaca");
PrintStream panggil=new PrintStream(simpen);
panggil.println("Muhammad Amir");
panggil.println("20094350144");
panggil.println("3c(sore)");
panggil.close();
}
catch (Exception e)
{
System.err.println("GAGAL COY");
}
System.out.println("KESIMPEN");
{
try
{
FileInputStream buka=new FileInputStream("tulisbaca");
DataInputStream lagi=new DataInputStream(buka);
while (lagi.available()!=0)
{
String hasil=lagi.readLine();
System.out.println(hasil);
}
lagi.close();
}
catch (Exception e)
{
System.err.println("GAGAL COY");
}
System.out.println("SUKSES");
}
}
}
program poin;
uses crt;
type
typestring = string[15];
penunjukstring = ^typestring;
var
nama : penunjukstring;
begin
clrscr;
nama^:='turbo pascal';
writeln(nama^);
readln;
end.
program array2d;
uses crt;
var
table:array [1..3 , 1..2] of integer;
i,j :integer;
begin
clrscr;
table[1,1]:=11;
table[1,2]:=22;
table[2,1]:=33;
table[2,2]:=44;
table[3,1]:=55;
table[3,2]:=66;
for i:=1 to 3 do begin for j:=1 to 2 do
write(table[i,j]:10);
writeln;
end;
readln;
end.
Program segitiga;
uses crt;
var
alas,tinggi,luas:real;
begin
clrscr;
writeln('Masukkan alas ='); readln(alas);
writeln('Masukkan tinggi ='); readln(tinggi);
luas:=alas*tinggi/2;
writeln('Luas segitiga =',luas:0:2);
readln;
end.
program coba2;
uses crt;
type
penunjukkaryawan = ^catatankaryawan;
catatankaryawan = record
kode : string[5];
nama : string[25];
gaji : real;
end;
var
datakaryawan1,datakaryawan2,datakaryawan3,datakaryawan4,datakaryawan5 : penunjukkaryawan;
begin
clrscr;
writeln('masukkan 5 buah data karyawan :');
writeln;
writeln('karyawan ke 1');
new(datakaryawan1);
with datakaryawan1^do
begin
write('kode karyawan?'); readln(kode);
write('nama karyawan?'); readln(nama);
write('gaji karyawan?'); readln(gaji);
end;
writeln('karyawan ke 2');
new(datakaryawan2);
with datakaryawan2^do
begin
write('kode karyawan?'); readln(kode);
write('nama karyawan?'); readln(nama);
write('gaji karyawan?'); readln(gaji);
end;
writeln('karyawan ke 3');
new(datakaryawan3);
with datakaryawan3^do
begin
write('kode karyawan?'); readln(kode);
write('nama karyawan?'); readln(nama);
write('gaji karyawan?'); readln(gaji);
end;
writeln('karyawan ke 4');
new(datakaryawan4);
with datakaryawan4^do
begin
write('kode karyawan?'); readln(kode);
write('nama karyawan?'); readln(nama);
write('gaji karyawan?'); readln(gaji);
end;
writeln;
writeln('data karyawan diambil dari heap :');
writeln('_________________________________');
writeln;
writeln('kode nama gaji');
writeln;
with datakaryawan1^do writeln(kode:5, nama:25, gaji:12:2);
with datakaryawan2^do writeln(kode:5, nama:25, gaji:12:2);
with datakaryawan3^do writeln(kode:5, nama:25, gaji:12:2);
with datakaryawan4^do writeln(kode:5, nama:25, gaji:12:2);
readln;
end.
class bacastringandfile
{
public static void main (String [] args)
{
try
{
FileInputStream fstream = new FileInputStream("myfile.txt");
DataInputStream datainput = new DataInputStream(fstream);
while (datainput.available()!=0)
{
String data = datainput.readLine();
System.out.println(data);
}
datainput.close();
}
catch (Exception x)
{
System.out.println("File Input Error");
}
}
}
program A3d;
uses crt;
var
a:array[1..2,1..3,1..3] of shortInt;
i,j,k:byte;
begin
clrscr;
a[1,1,1]:=1;
a[1,1,2]:=2;
a[1,2,1]:=3;
a[1,2,2]:=4;
a[2,1,1]:=5;
a[2,1,2]:=6;
a[2,2,1]:=7;
a[2,2,2]:=8;
a[1,1,3]:=9;
a[1,2,3]:=1;
a[2,1,3]:=2;
a[2,2,3]:=3;
for i:= 1 to 2 do
begin
for j:= 1 to 2 do
begin
for k:= 1 to 3 do write(a[i,j,k]);
writeln;
end;
end;
readln;
end.
java class panggil
import javax.swing.*;
import javax.swing.text.*;
import java.awt.*;
import java.awt.event.*;
public class TestForm extends JFrame {
JButton btnPanggil = new JButton("Panggil Form lain");
public TestForm() {
btnPanggil.setMnemonic('P');
btnPanggil.addActionListener(new ActionListener() {
public void actionPerformed(ActionEvent e) {
Form_kedua b = new Form_kedua();
b.show();
}
});
setDefaultCloseOperation(JFrame.EXIT_ON_CLOSE);
this.getContentPane().setLayout(null);
this.setTitle("Test Memanggil Form lain");
btnPanggil.setBounds(new Rectangle(90,10,250,20));
this.getContentPane().add(btnPanggil,null);
this.setSize(500,200);
Dimension layar = Toolkit.getDefaultToolkit().getScreenSize();
int L = (layar.width - this.getSize().width) / 2;
int T = (layar.height - this.getSize().height) / 2;
this.setLocation(L,T);
this.setResizable(false);
this.setVisible(true);
}
public static void main(String[] args) {
TestForm form_satu_awal = new TestForm();
}
}
import java.io.*;
class HargaBuncis
{
public static void main(String args[])
{
String x;
int harga=0,jumlah=0,n=0; // cobain kalau int harga,jumlah,n;
try
{
FileInputStream fstream = new FileInputStream("c:/hargabuncis.txt");
DataInputStream dataInput = new DataInputStream(fstream);
while (dataInput.available() !=0)
{
x=dataInput.readLine();
harga=Integer.parseInt(x);
n=n+1;
jumlah=jumlah+harga;
System.out.println ("Harga Buncis hari ke "+n+" "+harga);
}
dataInput.close();
}
catch (Exception e)
{
System.err.println("File input error");
}
double rata2=(double) jumlah/n;
// cobain kalau pake double rata2=jumlah/n; hasilnya spt apa?
System.out.println ("Harga Buncis rata-rata "+rata2);
}
}
import java.io.*;
class tulisbaca
{
public static void main(String[]args)
{
try
{
FileOutputStream simpen=new FileOutputStream("tulisbaca");
PrintStream panggil=new PrintStream(simpen);
panggil.println("Muhammad Amir");
panggil.println("20094350144");
panggil.println("3c(sore)");
panggil.close();
}
catch (Exception e)
{
System.err.println("GAGAL COY");
}
System.out.println("KESIMPEN");
{
try
{
FileInputStream buka=new FileInputStream("tulisbaca");
DataInputStream lagi=new DataInputStream(buka);
while (lagi.available()!=0)
{
String hasil=lagi.readLine();
System.out.println(hasil);
}
lagi.close();
}
catch (Exception e)
{
System.err.println("GAGAL COY");
}
System.out.println("SUKSES");
}
}
}
program poin;
uses crt;
type
typestring = string[15];
penunjukstring = ^typestring;
var
nama : penunjukstring;
begin
clrscr;
nama^:='turbo pascal';
writeln(nama^);
readln;
end.
program array2d;
uses crt;
var
table:array [1..3 , 1..2] of integer;
i,j :integer;
begin
clrscr;
table[1,1]:=11;
table[1,2]:=22;
table[2,1]:=33;
table[2,2]:=44;
table[3,1]:=55;
table[3,2]:=66;
for i:=1 to 3 do begin for j:=1 to 2 do
write(table[i,j]:10);
writeln;
end;
readln;
end.
Program segitiga;
uses crt;
var
alas,tinggi,luas:real;
begin
clrscr;
writeln('Masukkan alas ='); readln(alas);
writeln('Masukkan tinggi ='); readln(tinggi);
luas:=alas*tinggi/2;
writeln('Luas segitiga =',luas:0:2);
readln;
end.
program coba2;
uses crt;
type
penunjukkaryawan = ^catatankaryawan;
catatankaryawan = record
kode : string[5];
nama : string[25];
gaji : real;
end;
var
datakaryawan1,datakaryawan2,datakaryawan3,datakaryawan4,datakaryawan5 : penunjukkaryawan;
begin
clrscr;
writeln('masukkan 5 buah data karyawan :');
writeln;
writeln('karyawan ke 1');
new(datakaryawan1);
with datakaryawan1^do
begin
write('kode karyawan?'); readln(kode);
write('nama karyawan?'); readln(nama);
write('gaji karyawan?'); readln(gaji);
end;
writeln('karyawan ke 2');
new(datakaryawan2);
with datakaryawan2^do
begin
write('kode karyawan?'); readln(kode);
write('nama karyawan?'); readln(nama);
write('gaji karyawan?'); readln(gaji);
end;
writeln('karyawan ke 3');
new(datakaryawan3);
with datakaryawan3^do
begin
write('kode karyawan?'); readln(kode);
write('nama karyawan?'); readln(nama);
write('gaji karyawan?'); readln(gaji);
end;
writeln('karyawan ke 4');
new(datakaryawan4);
with datakaryawan4^do
begin
write('kode karyawan?'); readln(kode);
write('nama karyawan?'); readln(nama);
write('gaji karyawan?'); readln(gaji);
end;
writeln;
writeln('data karyawan diambil dari heap :');
writeln('_________________________________');
writeln;
writeln('kode nama gaji');
writeln;
with datakaryawan1^do writeln(kode:5, nama:25, gaji:12:2);
with datakaryawan2^do writeln(kode:5, nama:25, gaji:12:2);
with datakaryawan3^do writeln(kode:5, nama:25, gaji:12:2);
with datakaryawan4^do writeln(kode:5, nama:25, gaji:12:2);
readln;
end.
Selasa, 16 November 2010
java bacastring ke file
import java.io.*;
class HargaBuncis
{
public static void main(String args[])
{
String x;
int harga=0,jumlah=0,n=0; // cobain kalau int harga,jumlah,n;
try
{
FileInputStream fstream = new FileInputStream("c:/hargabuncis.txt");
DataInputStream dataInput = new DataInputStream(fstream);
while (dataInput.available() !=0)
{
x=dataInput.readLine();
harga=Integer.parseInt(x);
n=n+1;
jumlah=jumlah+harga;
System.out.println ("Harga Buncis hari ke "+n+" "+harga);
}
dataInput.close();
}
catch (Exception e)
{
System.err.println("File input error");
}
double rata2=(double) jumlah/n;
// cobain kalau pake double rata2=jumlah/n; hasilnya spt apa?
System.out.println ("Harga Buncis rata-rata "+rata2);
}
}
ini hasilnya
Harga Buncis hari ke 1 25
Harga Buncis hari ke 2 25
Harga Buncis hari ke 3 30
Harga Buncis hari ke 4 30
Harga Buncis hari ke 5 32
Harga Buncis hari ke 6 31
Harga Buncis hari ke 7 24
Harga Buncis rata-rata 28.142857142857142
class HargaBuncis
{
public static void main(String args[])
{
String x;
int harga=0,jumlah=0,n=0; // cobain kalau int harga,jumlah,n;
try
{
FileInputStream fstream = new FileInputStream("c:/hargabuncis.txt");
DataInputStream dataInput = new DataInputStream(fstream);
while (dataInput.available() !=0)
{
x=dataInput.readLine();
harga=Integer.parseInt(x);
n=n+1;
jumlah=jumlah+harga;
System.out.println ("Harga Buncis hari ke "+n+" "+harga);
}
dataInput.close();
}
catch (Exception e)
{
System.err.println("File input error");
}
double rata2=(double) jumlah/n;
// cobain kalau pake double rata2=jumlah/n; hasilnya spt apa?
System.out.println ("Harga Buncis rata-rata "+rata2);
}
}
ini hasilnya
Harga Buncis hari ke 1 25
Harga Buncis hari ke 2 25
Harga Buncis hari ke 3 30
Harga Buncis hari ke 4 30
Harga Buncis hari ke 5 32
Harga Buncis hari ke 6 31
Harga Buncis hari ke 7 24
Harga Buncis rata-rata 28.142857142857142
java tentang diskon
import java.io.*;
class diskon
{
public static void main (String [] args)
{
String x;
int harga=0,jumlah=0,n=0;
int diskon;
try
{
FileInputStream fstream= new FileInputStream ("d:/hargabuncis.txt");
DataInputStream datainput = new DataInputStream(fstream);
while (datainput.available()!=0)
{
x=datainput.readLine();
harga=Integer.parseInt(x);
n=n+1;
jumlah=jumlah+harga;
if (harga<=50000&&harga<=100000) { diskon=harga*0/100; } else if (harga>=100000&&harga<=500000) { diskon=harga*5/100; } else if (harga>500000&&harga<=1000000)
{
diskon=harga*10/100;
}
else
{
diskon=harga*15/100;
}
System.out.println("harga diskon ke "+n+"= "+diskon);
}
datainput.close();
}
catch (Exception e)
{
System.out.println("File Input Error");
}
System.out.println("SUCCES GAN");
}
}
class diskon
{
public static void main (String [] args)
{
String x;
int harga=0,jumlah=0,n=0;
int diskon;
try
{
FileInputStream fstream= new FileInputStream ("d:/hargabuncis.txt");
DataInputStream datainput = new DataInputStream(fstream);
while (datainput.available()!=0)
{
x=datainput.readLine();
harga=Integer.parseInt(x);
n=n+1;
jumlah=jumlah+harga;
if (harga<=50000&&harga<=100000) { diskon=harga*0/100; } else if (harga>=100000&&harga<=500000) { diskon=harga*5/100; } else if (harga>500000&&harga<=1000000)
{
diskon=harga*10/100;
}
else
{
diskon=harga*15/100;
}
System.out.println("harga diskon ke "+n+"= "+diskon);
}
datainput.close();
}
catch (Exception e)
{
System.out.println("File Input Error");
}
System.out.println("SUCCES GAN");
}
}
Sabtu, 13 November 2010
al jabar bolean
Aljabar Boolean
• Misalkan terdapat
- Dua operator biner: + dan
- Sebuah operator uner: ’.
- B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, , dan ’
- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
(B, +, , ’)
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a + b B
(ii) a b B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a b = b . a
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c)
(ii) a + (b c) = (a + b) (a + c)
5. Komplemen : (i) a + a’ = 1
(ii) a a’ = 0
• Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
- B = {0, 1}
- operator biner, + dan
- operator uner, ’
- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
a b a b a b a + b a a’
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : jelas berlaku
2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 0 = 0 1 = 0
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
a b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ekspresi Boolean
• Misalkan (B, +, , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, , ’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a b
a’ (b + c)
a b’ + a b c’ + b’, dan sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
• Contoh: a’ (b + c)
jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’ (1 + 0) = 1 1 = 1
• Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a (b + c) = (a . b) + (a c)
Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:
a b a’ a’b a + a’b a + b
0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
• Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i) a(b + c) = ab + ac
(ii) a + bc = (a + b) (a + c)
(iii) a 0 , bukan a0
Prinsip Dualitas
• Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
dengan +
+ dengan
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
Contoh.
(i) (a 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a’) = 1
(ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
Hukum-hukum Aljabar Boolean
1. Hukum identitas:
(i) a + 0 = a
(ii) a 1 = a
2. Hukum idempoten:
(i) a + a = a
(ii) a a = a
3. Hukum komplemen:
(i) a + a’ = 1
(ii) aa’ = 0
4. Hukum dominansi:
(i) a 0 = 0
(ii) a + 1 = 1
5. Hukum involusi:
(i) (a’)’ = a
6. Hukum penyerapan:
(i) a + ab = a
(ii) a(a + b) = a
7. Hukum komutatif:
(i) a + b = b + a
(ii) ab = ba
8. Hukum asosiatif:
(i) a + (b + c) = (a + b) + c
(ii) a (b c) = (a b) c
9. Hukum distributif:
(i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c) = a b + a c
10. Hukum De Morgan:
(i) (a + b)’ = a’b’
(ii) (ab)’ = a’ + b’
11. Hukum 0/1
(i) 0’ = 1
(ii) 1’ = 0
Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:
(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b) (Asosiatif)
= a + (a + a’)b (Distributif)
= a + 1 • b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
Fungsi Boolean
• Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
• Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
• Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .
Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1. f(x) = x
2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3. f(x, y) = x’ y’
4. f(x, y) = (x + y)’
5. f(x, y, z) = xyz’
• Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian:
x y z f(x, y, z) = xy z’
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 0
0
0
0
0
0
1
0
Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’
= x’ + (y’z’ + yz)’
= x’ + (y’z’)’ (yz)’
= x’ + (y + z) (y’ + z’)
2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
dual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)
komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)
Bentuk Kanonik
• Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:
1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
• Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
Minterm Maxterm
x y Suku Lambang Suku Lambang
0
0
1
1 0
1
0
1 x’y’
x’y
xy’
x y m0
m1
m2
m3 x + y
x + y’
x’ + y
x’ + y’ M0
M1
M2
M3
Minterm Maxterm
x y z Suku Lambang Suku Lambang
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 x’y’z’
x’y’z
x‘y z’
x’y z
x y’z’
x y’z
x y z’
x y z m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7 x + y + z
x + y + z’
x + y’+z
x + y’+z’
x’+ y + z
x’+ y + z’
x’+ y’+ z
x’+ y’+ z’ M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Contoh 7.10. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Tabel 7.10
x y z f(x, y, z)
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 0
1
0
0
1
0
0
1
Penyelesaian:
(a) SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah
f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = (1, 4, 7)
(b) POS
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah
f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)
(x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)
atau dalam bentuk lain,
f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = (0, 2, 3, 5, 6)
Contoh 7.11. Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
(a) SOP
x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z
Jadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = (1,4,5,6,7)
(b) POS
f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)
x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)
Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)
Konversi Antar Bentuk Kanonik
Misalkan
f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7)
dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,
f ’(x, y, z) = (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:
f ’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’
= m0’ . m2’ . m3’
= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’
= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)
= M0 M2 M3
= (0,2,3)
Jadi, f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7) = (0,2,3).
Kesimpulan: mj’ = Mj
Contoh. Nyatakan
f(x, y, z)= (0, 2, 4, 5) dan
g(w, x, y, z) = (1, 2, 5, 6, 10, 15)
dalam bentuk SOP.
Penyelesaian:
f(x, y, z) = (1, 3, 6, 7)
g(w, x, y, z)= (0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14)
Contoh. Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’
Penyelesaian:
(a) SOP
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’
= y’ (x + x’) (z + z’) + xy (z + z’) + x’yz’
= (xy’ + x’y’) (z + z’) + xyz + xyz’ + x’yz’
= xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’
atau f(x, y, z) = m0+ m1 + m2+ m4+ m5+ m6+ m7
(b) POS
f(x, y, z) = M3 = x + y’ + z’
Bentuk Baku
Contohnya,
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP
f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)
Aplikasi Aljabar Boolean
1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)
Saklar adalah objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.
Tiga bentuk gerbang paling sederhana:
1. a x b
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka x
2. a x y b
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka xy
3. a x
c
b y
Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y
Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:
1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND
Lampu
A B
Sumber tegangan
2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR
A
Lampu
B
Sumber Tegangan
Contoh. Nyatakan rangkaian pensaklaran pada gambar di bawah ini dalam ekspresi Boolean.
x’ y
x’
x
x y
x y’ z
z
Jawab: x’y + (x’ + xy)z + x(y + y’z + z)
2. Rangkaian Digital Elektronik
Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter)
Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.
Jawab: (a) Cara pertama
(b) Cara kedua
(b) Cara ketiga
Gerbang turunan
Gerbang NAND Gerbang XOR
Gerbang NOR Gerbang XNOR
Penyederhanaan Fungsi Boolean
Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’
disederhanakan menjadi
f(x, y) = x’ + y’
Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:
1. Secara aljabar
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)
1. Penyederhanaan Secara Aljabar
Contoh:
1. f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y)
= 1 (x + y )
= x + y
2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’
= x’z(y’ + y) + xy’
= x’z + xz’
3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz
= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
2. Peta Karnaugh
a. Peta Karnaugh dengan dua peubah
y
0 1
m0 m1 x 0 x’y’ x’y
m2 m3 1 xy’ xy
b. Peta dengan tiga peubah
yz
00
01
11
10
m0 m1 m3 m2 x 0 x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’
m4 m5 m7 m6 1 xy’z’ xy’z xyz xyz’
Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.
x y z f(x, y, z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
yz
00
01
11
10
x 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
b. Peta dengan empat peubah
yz
00
01
11
10
m0 m1 m3 m2 wx 00 w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’
m4 m5 m7 m6 01 w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’
m12 m13 m15 m14 11 wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’
m8 m9 m11 m10 10 wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’
Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.
w x y z f(w, x, y, z)
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
yz
00
01
11
10
wx 00 0 1 0 1
01 0 0 1 1
11 0 0 0 1
10 0 0 0 0
Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh
1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 0 0 1 1
10 0 0 0 0
Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’
Hasil Penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wxy
Bukti secara aljabar:
f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’
= wxy(z + z’)
= wxy(1)
= wxy
2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 1 1
10 0 0 0 0
Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’
Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wx
Bukti secara aljabar:
f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy
= wx(z’ + z)
= wx(1)
= wx
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 1 1
10 0 0 0 0
Contoh lain:
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 0 0
10 1 1 0 0
Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z
Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wy’
3. Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 1 1
10 1 1 1 1
Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ +
wx’y’z’ + wx’y’z + wx’yz + wx’yz’
Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w
Bukti secara aljabar:
f(w, x, y, z) = wy’ + wy
= w(y’ + y)
= w
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 1 1
10 1 1 1 1
Contoh 5.11. Sederhanakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x’yz + xy’z’ + xyz + xyz’.
Jawab:
Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:
yz
00
01
11
10
x 0
1
1
1 1 1
Hasil penyederhanaan: f(x, y, z) = yz + xz’
Contoh 5.12. Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam Peta Karnaugh. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian sesederhana mungkin.
yz
00
01
11
10
wx 00 0 1 1 1
01 0 0 0 1
11
1 1 0 1
10 1 1 0 1
Jawab: (lihat Peta Karnaugh) f(w, x, y, z) = wy’ + yz’ + w’x’z
Contoh 5.13. Minimisasi fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
0 1 0 0
11
1 1 1 1
10 1 1 1 1
Jawab: (lihat Peta Karnaugh) f(w, x, y, z) = w + xy’z
Jika penyelesaian Contoh 5.13 adalah seperti di bawah ini:
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
0 1 0 0
11
1 1 1 1
10 1 1 1 1
maka fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah
f(w, x, y, z) = w + w’xy’z (jumlah literal = 5)
yang ternyata masih belum sederhana dibandingkan f(w, x, y, z) = w + xy’z (jumlah literal = 4).
Contoh 5.14. (Penggulungan/rolling) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 0 0 0
Jawab: f(w, x, y, z) = xy’z’ + xyz’ ==> belum sederhana
Penyelesaian yang lebih minimal:
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
1 0 0 1
11
1 0 0 1
10 0 0 0 0
f(w, x, y, z) = xz’ ===> lebih sederhana
Contoh 5.15: (Kelompok berlebihan) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
0 1 0 0
11
0 1 1 0
10 0 0 1 0
Jawab: f(w, x, y, z) = xy’z + wxz + wyz masih belum sederhana.
Penyelesaian yang lebih minimal:
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
0 1 0 0
11
0 1 1 0
10 0 0 1 0
f(w, x, y, z) = xy’z + wyz ===> lebih sederhana
Contoh 5.16. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.
cd
00
01
11
10
ab 00 0 0 0 0
01
0 0 1 0
11
1 1 1 1
10 0 1 1 1
Jawab: (lihat Peta Karnaugh di atas) f(a, b, c, d) = ab + ad + ac + bcd
Contoh 5.17. Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z) = x’z + x’y + xy’z + yz
Jawab:
x’z = x’z(y + y’) = x’yz + x’y’z
x’y = x’y(z + z’) = x’yz + x’yz’
yz = yz(x + x’) = xyz + x’yz
f(x, y, z) = x’z + x’y + xy’z + yz
= x’yz + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z + xyz + x’yz
= x’yz + x’y’z + x’yz’ + xyz + xy’z
Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:
yz
00
01
11
10
x 0
1 1 1
1 1 1
Hasil penyederhanaan: f(x, y, z) = z + x’yz’
Peta Karnaugh untuk lima peubah
000 001 011 010 110 111 101 100
00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4
01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12
11 m24 m25 m27 m26 m30 m31 m29 m28
10 m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20
Garis pencerminan
Contoh 5.21. (Contoh penggunaan Peta 5 peubah) Carilah fungsi sederhana dari f(v, w, x, y, z) = (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)
Jawab:
Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:
xyz
000
001
011
010
110
111
101
100
vw 00
1
1
1
1
01
1
1
1
1
11
1
1
1
1
10
1
1
Jadi f(v, w, x, y, z) = wz + v’w’z’ + vy’z
Keadaan Don’t Care
Tabel 5.16
w x y z desimal
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1 0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
don’t care
don’t care
don’t care
don’t care
don’t care
don’t care
Contoh 5.25. Diberikan Tabel 5.17. Minimisasi fungsi f sesederhana mungkin.
Tabel 5.17
A b c d f(a, b, c, d)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1 0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 1
0
0
1
1
1
0
1
X
X
X
X
X
X
X
X
Jawab: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:
cd
00
01
11
10
ab 00 1 0 1 0
01
1 1 1 0
11 X X X X
10 X 0 X X
Hasil penyederhanaan: f(a, b, c, d) = bd + c’d’ + cd
Contoh 5.26. Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z) = x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xy’z. Gambarkan rangkaian logikanya.
Jawab: Rangkaian logika fungsi f(x, y, z) sebelum diminimisasikan adalah seperti di bawah ini:
Minimisasi dengan Peta Karnaugh adalah sebagai berikut:
yz
00
01
11
10
x 0
1
1
1
1
1
Hasil minimisasi adalah f(x, y, z) = x’y + xy’.
Contoh 5.28. Berbagai sistem digital menggunakan kode binary coded decimal (BCD). Diberikan Tabel 5.19 untuk konversi BCD ke kode Excess-3 sebagai berikut:
Tabel 5.19
Masukan BCD Keluaran kode Excess-3
w x y z f1(w, x, y, z) f2(w, x, y,z) f3(w, x, y, z) f4(w, x, y, z)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 0
0
0
0
1
1
1
1
0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 0
0
0
0
0
1
1
1
1
1 0
1
1
1
1
0
0
0
0
1 1
0
0
1
1
0
0
1
1
0 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
(a) f1(w, x, y, z)
yz
00
01
11
10
wx 00
01
1 1 1
11
X X X X
10
1 1 X X
f1(w, x, y, z) = w + xz + xy = w + x(y + z)
(b) f2(w, x, y, z)
yz
00
01
11
10
wx 00 1 1 1
01
1
11 X X X X
10
1 X X
f2(w, x, y, z) = xy’z’ + x’z + x’y = xy’z’ + x’(y + z)
(c) f3(w, x, y, z)
yz
00
01
11
10
wx 00 1 1
01 1 1
11 X X X X
10 1 X X
f3(w, x, y, z) = y’z’ + yz
(d) f4(w, x, y, z)
yz
00
01
11
10
wx 00 1 1
01 1 1
11 X X X X
10
1 X X
f4(w, x, y, z) = z’
• Misalkan terdapat
- Dua operator biner: + dan
- Sebuah operator uner: ’.
- B : himpunan yang didefinisikan pada operator +, , dan ’
- 0 dan 1 adalah dua elemen yang berbeda dari B.
Tupel
(B, +, , ’)
disebut aljabar Boolean jika untuk setiap a, b, c B berlaku aksioma-aksioma atau postulat Huntington berikut:
1. Closure: (i) a + b B
(ii) a b B
2. Identitas: (i) a + 0 = a
(ii) a 1 = a
3. Komutatif: (i) a + b = b + a
(ii) a b = b . a
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c)
(ii) a + (b c) = (a + b) (a + c)
5. Komplemen : (i) a + a’ = 1
(ii) a a’ = 0
• Untuk mempunyai sebuah aljabar Boolean, harus diperlihatkan:
1. Elemen-elemen himpunan B,
2. Kaidah operasi untuk operator biner dan operator uner,
3. Memenuhi postulat Huntington.
Aljabar Boolean Dua-Nilai
Aljabar Boolean dua-nilai:
- B = {0, 1}
- operator biner, + dan
- operator uner, ’
- Kaidah untuk operator biner dan operator uner:
a b a b a b a + b a a’
0 0 0 0 0 0 0 1
0 1 0 0 1 1 1 0
1 0 0 1 0 1
1 1 1 1 1 1
Cek apakah memenuhi postulat Huntington:
1. Closure : jelas berlaku
2. Identitas: jelas berlaku karena dari tabel dapat kita lihat bahwa:
(i) 0 + 1 = 1 + 0 = 1
(ii) 1 0 = 0 1 = 0
3. Komutatif: jelas berlaku dengan melihat simetri tabel operator biner.
4. Distributif: (i) a (b + c) = (a b) + (a c) dapat ditunjukkan benar dari tabel operator biner di atas dengan membentuk tabel kebenaran:
a b c b + c a (b + c) a b a c (a b) + (a c)
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1
(ii) Hukum distributif a + (b c) = (a + b) (a + c) dapat ditunjukkan benar dengan membuat tabel kebenaran dengan cara yang sama seperti (i).
5. Komplemen: jelas berlaku karena Tabel 7.3 memperlihatkan bahwa:
(i) a + a‘ = 1, karena 0 + 0’= 0 + 1 = 1 dan 1 + 1’= 1 + 0 = 1
(ii) a a = 0, karena 0 0’= 0 1 = 0 dan 1 1’ = 1 0 = 0
Karena kelima postulat Huntington dipenuhi, maka terbukti bahwa B = {0, 1} bersama-sama dengan operator biner + dan operator komplemen ‘ merupakan aljabar Boolean.
Ekspresi Boolean
• Misalkan (B, +, , ’) adalah sebuah aljabar Boolean. Suatu ekspresi Boolean dalam (B, +, , ’) adalah:
(i) setiap elemen di dalam B,
(ii) setiap peubah,
(iii) jika e1 dan e2 adalah ekspresi Boolean, maka e1 + e2, e1 e2, e1’ adalah ekspresi Boolean
Contoh:
0
1
a
b
c
a + b
a b
a’ (b + c)
a b’ + a b c’ + b’, dan sebagainya
Mengevaluasi Ekspresi Boolean
• Contoh: a’ (b + c)
jika a = 0, b = 1, dan c = 0, maka hasil evaluasi ekspresi:
0’ (1 + 0) = 1 1 = 1
• Dua ekspresi Boolean dikatakan ekivalen (dilambangkan dengan ‘=’) jika keduanya mempunyai nilai yang sama untuk setiap pemberian nilai-nilai kepada n peubah.
Contoh:
a (b + c) = (a . b) + (a c)
Contoh. Perlihatkan bahwa a + a’b = a + b .
Penyelesaian:
a b a’ a’b a + a’b a + b
0 0 1 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 0 0 0 1 1
1 1 0 0 1 1
• Perjanjian: tanda titik () dapat dihilangkan dari penulisan ekspresi Boolean, kecuali jika ada penekanan:
(i) a(b + c) = ab + ac
(ii) a + bc = (a + b) (a + c)
(iii) a 0 , bukan a0
Prinsip Dualitas
• Misalkan S adalah kesamaan (identity) di dalam aljabar Boolean yang melibatkan operator +, , dan komplemen, maka jika pernyataan S* diperoleh dengan cara mengganti
dengan +
+ dengan
0 dengan 1
1 dengan 0
dan membiarkan operator komplemen tetap apa adanya, maka kesamaan S* juga benar. S* disebut sebagai dual dari S.
Contoh.
(i) (a 1)(0 + a’) = 0 dualnya (a + 0) + (1 a’) = 1
(ii) a(a‘ + b) = ab dualnya a + a‘b = a + b
Hukum-hukum Aljabar Boolean
1. Hukum identitas:
(i) a + 0 = a
(ii) a 1 = a
2. Hukum idempoten:
(i) a + a = a
(ii) a a = a
3. Hukum komplemen:
(i) a + a’ = 1
(ii) aa’ = 0
4. Hukum dominansi:
(i) a 0 = 0
(ii) a + 1 = 1
5. Hukum involusi:
(i) (a’)’ = a
6. Hukum penyerapan:
(i) a + ab = a
(ii) a(a + b) = a
7. Hukum komutatif:
(i) a + b = b + a
(ii) ab = ba
8. Hukum asosiatif:
(i) a + (b + c) = (a + b) + c
(ii) a (b c) = (a b) c
9. Hukum distributif:
(i) a + (b c) = (a + b) (a + c)
(ii) a (b + c) = a b + a c
10. Hukum De Morgan:
(i) (a + b)’ = a’b’
(ii) (ab)’ = a’ + b’
11. Hukum 0/1
(i) 0’ = 1
(ii) 1’ = 0
Contoh 7.3. Buktikan (i) a + a’b = a + b dan (ii) a(a’ + b) = ab
Penyelesaian:
(i) a + a’b = (a + ab) + a’b (Penyerapan)
= a + (ab + a’b) (Asosiatif)
= a + (a + a’)b (Distributif)
= a + 1 • b (Komplemen)
= a + b (Identitas)
(ii) adalah dual dari (i)
Fungsi Boolean
• Fungsi Boolean (disebut juga fungsi biner) adalah pemetaan dari Bn ke B melalui ekspresi Boolean, kita menuliskannya sebagai
f : Bn B
yang dalam hal ini Bn adalah himpunan yang beranggotakan pasangan terurut ganda-n (ordered n-tuple) di dalam daerah asal B.
• Setiap ekspresi Boolean tidak lain merupakan fungsi Boolean.
• Misalkan sebuah fungsi Boolean adalah
f(x, y, z) = xyz + x’y + y’z
Fungsi f memetakan nilai-nilai pasangan terurut ganda-3
(x, y, z) ke himpunan {0, 1}.
Contohnya, (1, 0, 1) yang berarti x = 1, y = 0, dan z = 1
sehingga f(1, 0, 1) = 1 0 1 + 1’ 0 + 0’ 1 = 0 + 0 + 1 = 1 .
Contoh. Contoh-contoh fungsi Boolean yang lain:
1. f(x) = x
2. f(x, y) = x’y + xy’+ y’
3. f(x, y) = x’ y’
4. f(x, y) = (x + y)’
5. f(x, y, z) = xyz’
• Setiap peubah di dalam fungsi Boolean, termasuk dalam bentuk komplemennya, disebut literal.
Contoh: Fungsi h(x, y, z) = xyz’ pada contoh di atas terdiri dari 3 buah literal, yaitu x, y, dan z’.
Contoh. Diketahui fungsi Booelan f(x, y, z) = xy z’, nyatakan h dalam tabel kebenaran.
Penyelesaian:
x y z f(x, y, z) = xy z’
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 0
0
0
0
0
0
1
0
Komplemen Fungsi
1. Cara pertama: menggunakan hukum De Morgan
Hukum De Morgan untuk dua buah peubah, x1 dan x2, adalah
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
f ’(x, y, z) = (x(y’z’ + yz))’
= x’ + (y’z’ + yz)’
= x’ + (y’z’)’ (yz)’
= x’ + (y + z) (y’ + z’)
2. Cara kedua: menggunakan prinsip dualitas.
Tentukan dual dari ekspresi Boolean yang merepresentasikan f, lalu komplemenkan setiap literal di dalam dual tersebut.
Contoh. Misalkan f(x, y, z) = x(y’z’ + yz), maka
dual dari f: x + (y’ + z’) (y + z)
komplemenkan tiap literalnya: x’ + (y + z) (y’ + z’) = f ’
Jadi, f ‘(x, y, z) = x’ + (y + z)(y’ + z’)
Bentuk Kanonik
• Jadi, ada dua macam bentuk kanonik:
1. Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2. Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh: 1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
• Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
Minterm Maxterm
x y Suku Lambang Suku Lambang
0
0
1
1 0
1
0
1 x’y’
x’y
xy’
x y m0
m1
m2
m3 x + y
x + y’
x’ + y
x’ + y’ M0
M1
M2
M3
Minterm Maxterm
x y z Suku Lambang Suku Lambang
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 x’y’z’
x’y’z
x‘y z’
x’y z
x y’z’
x y’z
x y z’
x y z m0
m1
m2
m3
m4
m5
m6
m7 x + y + z
x + y + z’
x + y’+z
x + y’+z’
x’+ y + z
x’+ y + z’
x’+ y’+ z
x’+ y’+ z’ M0
M1
M2
M3
M4
M5
M6
M7
Contoh 7.10. Nyatakan tabel kebenaran di bawah ini dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Tabel 7.10
x y z f(x, y, z)
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1 0
1
0
0
1
0
0
1
Penyelesaian:
(a) SOP
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 1 adalah 001, 100, dan 111, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik SOP adalah
f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz
atau (dengan menggunakan lambang minterm),
f(x, y, z) = m1 + m4 + m7 = (1, 4, 7)
(b) POS
Kombinasi nilai-nilai peubah yang menghasilkan nilai fungsi sama dengan 0 adalah 000, 010, 011, 101, dan 110, maka fungsi Booleannya dalam bentuk kanonik POS adalah
f(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’+ z)(x + y’+ z’)
(x’+ y + z’)(x’+ y’+ z)
atau dalam bentuk lain,
f(x, y, z) = M0 M2 M3 M5 M6 = (0, 2, 3, 5, 6)
Contoh 7.11. Nyatakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x + y’z dalam bentuk kanonik SOP dan POS.
Penyelesaian:
(a) SOP
x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z
Jadi f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’ + xyz
atau f(x, y, z) = m1 + m4 + m5 + m6 + m7 = (1,4,5,6,7)
(b) POS
f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)
x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
x + z = x + z + yy’
= (x + y + z)(x + y’ + z)
Jadi, f(x, y, z) = (x + y’ + z)(x + y’ + z’)(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
atau f(x, y, z) = M0M2M3 = (0, 2, 3)
Konversi Antar Bentuk Kanonik
Misalkan
f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7)
dan f ’adalah fungsi komplemen dari f,
f ’(x, y, z) = (0, 2, 3) = m0+ m2 + m3
Dengan menggunakan hukum De Morgan, kita dapat memperoleh fungsi f dalam bentuk POS:
f ’(x, y, z) = (f ’(x, y, z))’ = (m0 + m2 + m3)’
= m0’ . m2’ . m3’
= (x’y’z’)’ (x’y z’)’ (x’y z)’
= (x + y + z) (x + y’ + z) (x + y’ + z’)
= M0 M2 M3
= (0,2,3)
Jadi, f(x, y, z) = (1, 4, 5, 6, 7) = (0,2,3).
Kesimpulan: mj’ = Mj
Contoh. Nyatakan
f(x, y, z)= (0, 2, 4, 5) dan
g(w, x, y, z) = (1, 2, 5, 6, 10, 15)
dalam bentuk SOP.
Penyelesaian:
f(x, y, z) = (1, 3, 6, 7)
g(w, x, y, z)= (0, 3, 4, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 14)
Contoh. Carilah bentuk kanonik SOP dan POS dari f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’
Penyelesaian:
(a) SOP
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz’
= y’ (x + x’) (z + z’) + xy (z + z’) + x’yz’
= (xy’ + x’y’) (z + z’) + xyz + xyz’ + x’yz’
= xy’z + xy’z’ + x’y’z + x’y’z’ + xyz + xyz’ + x’yz’
atau f(x, y, z) = m0+ m1 + m2+ m4+ m5+ m6+ m7
(b) POS
f(x, y, z) = M3 = x + y’ + z’
Bentuk Baku
Contohnya,
f(x, y, z) = y’ + xy + x’yz (bentuk baku SOP
f(x, y, z) = x(y’ + z)(x’ + y + z’) (bentuk baku POS)
Aplikasi Aljabar Boolean
1. Jaringan Pensaklaran (Switching Network)
Saklar adalah objek yang mempunyai dua buah keadaan: buka dan tutup.
Tiga bentuk gerbang paling sederhana:
1. a x b
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dibuka x
2. a x y b
Output b hanya ada jika dan hanya jika x dan y dibuka xy
3. a x
c
b y
Output c hanya ada jika dan hanya jika x atau y dibuka x + y
Contoh rangkaian pensaklaran pada rangkaian listrik:
1. Saklar dalam hubungan SERI: logika AND
Lampu
A B
Sumber tegangan
2. Saklar dalam hubungan PARALEL: logika OR
A
Lampu
B
Sumber Tegangan
Contoh. Nyatakan rangkaian pensaklaran pada gambar di bawah ini dalam ekspresi Boolean.
x’ y
x’
x
x y
x y’ z
z
Jawab: x’y + (x’ + xy)z + x(y + y’z + z)
2. Rangkaian Digital Elektronik
Gerbang AND Gerbang OR Gerbang NOT (inverter)
Contoh. Nyatakan fungsi f(x, y, z) = xy + x’y ke dalam rangkaian logika.
Jawab: (a) Cara pertama
(b) Cara kedua
(b) Cara ketiga
Gerbang turunan
Gerbang NAND Gerbang XOR
Gerbang NOR Gerbang XNOR
Penyederhanaan Fungsi Boolean
Contoh. f(x, y) = x’y + xy’ + y’
disederhanakan menjadi
f(x, y) = x’ + y’
Penyederhanaan fungsi Boolean dapat dilakukan dengan 3 cara:
1. Secara aljabar
2. Menggunakan Peta Karnaugh
3. Menggunakan metode Quine Mc Cluskey (metode Tabulasi)
1. Penyederhanaan Secara Aljabar
Contoh:
1. f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y)
= 1 (x + y )
= x + y
2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’
= x’z(y’ + y) + xy’
= x’z + xz’
3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz
= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z
2. Peta Karnaugh
a. Peta Karnaugh dengan dua peubah
y
0 1
m0 m1 x 0 x’y’ x’y
m2 m3 1 xy’ xy
b. Peta dengan tiga peubah
yz
00
01
11
10
m0 m1 m3 m2 x 0 x’y’z’ x’y’z x’yz x’yz’
m4 m5 m7 m6 1 xy’z’ xy’z xyz xyz’
Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.
x y z f(x, y, z)
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 1
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 1
1 1 1 1
yz
00
01
11
10
x 0 0 0 0 1
1 0 0 1 1
b. Peta dengan empat peubah
yz
00
01
11
10
m0 m1 m3 m2 wx 00 w’x’y’z’ w’x’y’z w’x’yz w’x’yz’
m4 m5 m7 m6 01 w’xy’z’ w’xy’z w’xyz w’xyz’
m12 m13 m15 m14 11 wxy’z’ wxy’z wxyz wxyz’
m8 m9 m11 m10 10 wx’y’z’ wx’y’z wx’yz wx’yz’
Contoh. Diberikan tabel kebenaran, gambarkan Peta Karnaugh.
w x y z f(w, x, y, z)
0 0 0 0 0
0 0 0 1 1
0 0 1 0 0
0 0 1 1 0
0 1 0 0 0
0 1 0 1 0
0 1 1 0 1
0 1 1 1 1
1 0 0 0 0
1 0 0 1 0
1 0 1 0 0
1 0 1 1 0
1 1 0 0 0
1 1 0 1 0
1 1 1 0 1
1 1 1 1 0
yz
00
01
11
10
wx 00 0 1 0 1
01 0 0 1 1
11 0 0 0 1
10 0 0 0 0
Teknik Minimisasi Fungsi Boolean dengan Peta Karnaugh
1. Pasangan: dua buah 1 yang bertetangga
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11 0 0 1 1
10 0 0 0 0
Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’
Hasil Penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wxy
Bukti secara aljabar:
f(w, x, y, z) = wxyz + wxyz’
= wxy(z + z’)
= wxy(1)
= wxy
2. Kuad: empat buah 1 yang bertetangga
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 1 1
10 0 0 0 0
Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’
Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wx
Bukti secara aljabar:
f(w, x, y, z) = wxy’ + wxy
= wx(z’ + z)
= wx(1)
= wx
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 1 1
10 0 0 0 0
Contoh lain:
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 0 0
10 1 1 0 0
Sebelum disederhanakan: f(w, x, y, z) = wxy’z’ + wxy’z + wx’y’z’ + wx’y’z
Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = wy’
3. Oktet: delapan buah 1 yang bertetangga
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 1 1
10 1 1 1 1
Sebelum disederhanakan: f(a, b, c, d) = wxy’z’ + wxy’z + wxyz + wxyz’ +
wx’y’z’ + wx’y’z + wx’yz + wx’yz’
Hasil penyederhanaan: f(w, x, y, z) = w
Bukti secara aljabar:
f(w, x, y, z) = wy’ + wy
= w(y’ + y)
= w
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01 0 0 0 0
11
1 1 1 1
10 1 1 1 1
Contoh 5.11. Sederhanakan fungsi Boolean f(x, y, z) = x’yz + xy’z’ + xyz + xyz’.
Jawab:
Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:
yz
00
01
11
10
x 0
1
1
1 1 1
Hasil penyederhanaan: f(x, y, z) = yz + xz’
Contoh 5.12. Andaikan suatu tabel kebenaran telah diterjemahkan ke dalam Peta Karnaugh. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian sesederhana mungkin.
yz
00
01
11
10
wx 00 0 1 1 1
01 0 0 0 1
11
1 1 0 1
10 1 1 0 1
Jawab: (lihat Peta Karnaugh) f(w, x, y, z) = wy’ + yz’ + w’x’z
Contoh 5.13. Minimisasi fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
0 1 0 0
11
1 1 1 1
10 1 1 1 1
Jawab: (lihat Peta Karnaugh) f(w, x, y, z) = w + xy’z
Jika penyelesaian Contoh 5.13 adalah seperti di bawah ini:
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
0 1 0 0
11
1 1 1 1
10 1 1 1 1
maka fungsi Boolean hasil penyederhanaan adalah
f(w, x, y, z) = w + w’xy’z (jumlah literal = 5)
yang ternyata masih belum sederhana dibandingkan f(w, x, y, z) = w + xy’z (jumlah literal = 4).
Contoh 5.14. (Penggulungan/rolling) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
1 0 0 1
11 1 0 0 1
10 0 0 0 0
Jawab: f(w, x, y, z) = xy’z’ + xyz’ ==> belum sederhana
Penyelesaian yang lebih minimal:
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
1 0 0 1
11
1 0 0 1
10 0 0 0 0
f(w, x, y, z) = xz’ ===> lebih sederhana
Contoh 5.15: (Kelompok berlebihan) Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
0 1 0 0
11
0 1 1 0
10 0 0 1 0
Jawab: f(w, x, y, z) = xy’z + wxz + wyz masih belum sederhana.
Penyelesaian yang lebih minimal:
yz
00
01
11
10
wx 00 0 0 0 0
01
0 1 0 0
11
0 1 1 0
10 0 0 1 0
f(w, x, y, z) = xy’z + wyz ===> lebih sederhana
Contoh 5.16. Sederhanakan fungsi Boolean yang bersesuaian dengan Peta Karnaugh di bawah ini.
cd
00
01
11
10
ab 00 0 0 0 0
01
0 0 1 0
11
1 1 1 1
10 0 1 1 1
Jawab: (lihat Peta Karnaugh di atas) f(a, b, c, d) = ab + ad + ac + bcd
Contoh 5.17. Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z) = x’z + x’y + xy’z + yz
Jawab:
x’z = x’z(y + y’) = x’yz + x’y’z
x’y = x’y(z + z’) = x’yz + x’yz’
yz = yz(x + x’) = xyz + x’yz
f(x, y, z) = x’z + x’y + xy’z + yz
= x’yz + x’y’z + x’yz + x’yz’ + xy’z + xyz + x’yz
= x’yz + x’y’z + x’yz’ + xyz + xy’z
Peta Karnaugh untuk fungsi tersebut adalah:
yz
00
01
11
10
x 0
1 1 1
1 1 1
Hasil penyederhanaan: f(x, y, z) = z + x’yz’
Peta Karnaugh untuk lima peubah
000 001 011 010 110 111 101 100
00 m0 m1 m3 m2 m6 m7 m5 m4
01 m8 m9 m11 m10 m14 m15 m13 m12
11 m24 m25 m27 m26 m30 m31 m29 m28
10 m16 m17 m19 m18 m22 m23 m21 m20
Garis pencerminan
Contoh 5.21. (Contoh penggunaan Peta 5 peubah) Carilah fungsi sederhana dari f(v, w, x, y, z) = (0, 2, 4, 6, 9, 11, 13, 15, 17, 21, 25, 27, 29, 31)
Jawab:
Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:
xyz
000
001
011
010
110
111
101
100
vw 00
1
1
1
1
01
1
1
1
1
11
1
1
1
1
10
1
1
Jadi f(v, w, x, y, z) = wz + v’w’z’ + vy’z
Keadaan Don’t Care
Tabel 5.16
w x y z desimal
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1 0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
don’t care
don’t care
don’t care
don’t care
don’t care
don’t care
Contoh 5.25. Diberikan Tabel 5.17. Minimisasi fungsi f sesederhana mungkin.
Tabel 5.17
A b c d f(a, b, c, d)
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
1
1
1 0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
1
1
1
1 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
1
1 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 1
0
0
1
1
1
0
1
X
X
X
X
X
X
X
X
Jawab: Peta Karnaugh dari fungsi tersebut adalah:
cd
00
01
11
10
ab 00 1 0 1 0
01
1 1 1 0
11 X X X X
10 X 0 X X
Hasil penyederhanaan: f(a, b, c, d) = bd + c’d’ + cd
Contoh 5.26. Minimisasi fungsi Boolean f(x, y, z) = x’yz + x’yz’ + xy’z’ + xy’z. Gambarkan rangkaian logikanya.
Jawab: Rangkaian logika fungsi f(x, y, z) sebelum diminimisasikan adalah seperti di bawah ini:
Minimisasi dengan Peta Karnaugh adalah sebagai berikut:
yz
00
01
11
10
x 0
1
1
1
1
1
Hasil minimisasi adalah f(x, y, z) = x’y + xy’.
Contoh 5.28. Berbagai sistem digital menggunakan kode binary coded decimal (BCD). Diberikan Tabel 5.19 untuk konversi BCD ke kode Excess-3 sebagai berikut:
Tabel 5.19
Masukan BCD Keluaran kode Excess-3
w x y z f1(w, x, y, z) f2(w, x, y,z) f3(w, x, y, z) f4(w, x, y, z)
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 0
0
0
0
0
0
0
0
1
1 0
0
0
0
1
1
1
1
0
0 0
0
1
1
0
0
1
1
0
0 0
1
0
1
0
1
0
1
0
1 0
0
0
0
0
1
1
1
1
1 0
1
1
1
1
0
0
0
0
1 1
0
0
1
1
0
0
1
1
0 1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
(a) f1(w, x, y, z)
yz
00
01
11
10
wx 00
01
1 1 1
11
X X X X
10
1 1 X X
f1(w, x, y, z) = w + xz + xy = w + x(y + z)
(b) f2(w, x, y, z)
yz
00
01
11
10
wx 00 1 1 1
01
1
11 X X X X
10
1 X X
f2(w, x, y, z) = xy’z’ + x’z + x’y = xy’z’ + x’(y + z)
(c) f3(w, x, y, z)
yz
00
01
11
10
wx 00 1 1
01 1 1
11 X X X X
10 1 X X
f3(w, x, y, z) = y’z’ + yz
(d) f4(w, x, y, z)
yz
00
01
11
10
wx 00 1 1
01 1 1
11 X X X X
10
1 X X
f4(w, x, y, z) = z’
Langganan:
Postingan (Atom)